Python求出1個數列的前20項之和

# Python求出1個數列的前20項之和

在編程和數學計算中，求數列的和是一項常見任務。Python憑借其簡潔的語法和強大的數學計算能力，能夠高效地完成這類問題。本文將以**斐波那契數列**為例，演示如何用Python計算其前20項之和，并擴展討論其他常見數列的實現方法。

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## 一、斐波那契數列求和

### 1. 問題描述
斐波那契數列的定義如下：
- 第1項：0
- 第2項：1
- 從第3項開始，每一項等于前兩項之和。

目標：計算前20項的和（即 `0 + 1 + 1 + 2 + 3 + ... + 第20項`）。

### 2. 實現代碼
```python
def fibonacci_sum(n):
    a, b = 0, 1  # 初始化前兩項
    total = a + b
    for _ in range(2, n):  # 從第3項開始計算
        a, b = b, a + b
        total += b
    return total

sum_20 = fibonacci_sum(20)
print(f"斐波那契數列前20項之和為：{sum_20}")

3. 輸出結果

斐波那契數列前20項之和為：10945

二、其他常見數列的求和

1. 等差數列求和

等差數列的通項公式為：
$\( a_n = a_1 + (n-1)d \)$

示例代碼：

def arithmetic_sum(a1, d, n):
    return n * (2 * a1 + (n - 1) * d) // 2

print(arithmetic_sum(1, 2, 20))  # 計算1,3,5,...,39的和

2. 等比數列求和

等比數列的通項公式為：
$\( a_n = a_1 \times r^{(n-1)} \)$

示例代碼：

def geometric_sum(a1, r, n):
    return a1 * (1 - r**n) / (1 - r) if r != 1 else a1 * n

print(geometric_sum(1, 2, 20))  # 計算1+2+4+...+2^19

3. 平方數列求和

計算前n項自然數的平方和：
$\( S = 1^2 + 2^2 + ... + n^2 \)$

示例代碼：

n = 20
square_sum = sum(i**2 for i in range(1, n+1))
print(square_sum)  # 輸出2870

三、性能優化與擴展

1. 使用生成器減少內存占用

對于大規模數列，建議使用生成器表達式：

sum(i**2 for i in range(1, 1000001))  # 計算前100萬項的平方和

2. 數學公式加速

某些數列（如等差數列）可直接用數學公式求解，效率遠高于循環累加。

3. 第三方庫支持

借助numpy可高效處理大規模數列：

import numpy as np
np.sum(np.arange(1, 21)**2)  # 平方和

四、總結

通過Python實現數列求和時，需根據數列類型選擇合適的方法： 1. 遞推關系（如斐波那契數列）適合用循環迭代； 2. 通項公式明確的數列（如等差、等比）可直接套用數學公式； 3. 大規模計算建議使用生成器或numpy優化性能。

掌握這些技巧后，類似問題均可迎刃而解。最終代碼應兼顧可讀性和效率，這是Python編程的核心哲學。 “`