Matlab計算變異函數并繪制經驗半方差圖的方法是什么

Matlab計算變異函數并繪制經驗半方差圖的方法是什么

引言

在地統計學中，變異函數（Variogram）是描述空間數據變異性的重要工具。通過計算變異函數，我們可以了解數據在空間上的自相關性，從而為后續的空間插值和預測提供依據。經驗半方差圖（Empirical Semivariogram）是變異函數的圖形表示，它展示了數據點對之間的半方差隨距離變化的趨勢。本文將詳細介紹如何使用Matlab計算變異函數并繪制經驗半方差圖。

1. 變異函數的基本概念

1.1 變異函數的定義

變異函數是描述空間數據變異性的函數，通常用半方差（Semivariance）來表示。半方差的定義如下：

[ \gamma(h) = \frac{1}{2N(h)} \sum_{i=1}^{N(h)} [z(x_i) - z(x_i + h)]^2 ]

其中，( \gamma(h) ) 是距離 ( h ) 處的半方差，( N(h) ) 是距離為 ( h ) 的數據點對的數量，( z(x_i) ) 和 ( z(x_i + h) ) 分別是位置 ( x_i ) 和 ( x_i + h ) 處的觀測值。

1.2 變異函數的性質

• 塊金效應（Nugget Effect）：當 ( h = 0 ) 時，半方差 ( \gamma(0) ) 通常不為零，這被稱為塊金效應，表示測量誤差或微觀變異。
• 基臺值（Sill）：當 ( h ) 增大到一定程度時，半方差趨于穩定，這個穩定值稱為基臺值。
• 變程（Range）：半方差達到基臺值時的距離稱為變程，表示空間自相關性的范圍。

2. Matlab計算變異函數的步驟

2.1 數據準備

首先，我們需要準備空間數據。假設我們有一組二維空間數據，包含坐標和觀測值。數據可以存儲在一個矩陣中，其中每一行表示一個數據點，前兩列是坐標，第三列是觀測值。

data = [
    1, 2, 10;
    2, 3, 12;
    3, 4, 11;
    4, 5, 13;
    5, 6, 14;
    % 更多數據點...
];

2.2 計算距離矩陣

接下來，我們需要計算所有數據點對之間的距離?？梢允褂肕atlab的pdist函數來計算距離矩陣。

distances = pdist(data(:, 1:2)); % 計算坐標之間的距離

2.3 計算半方差

根據變異函數的定義，我們需要計算每個距離區間內的半方差。首先，我們需要確定距離區間（bins）的數量和范圍。

max_distance = max(distances); % 最大距離
num_bins = 10; % 距離區間的數量
bin_width = max_distance / num_bins; % 每個區間的寬度

然后，我們可以使用循環來計算每個距離區間內的半方差。

semivariances = zeros(num_bins, 1); % 初始化半方差數組
counts = zeros(num_bins, 1); % 初始化計數數組

for i = 1:length(distances)
    bin_index = ceil(distances(i) / bin_width); % 確定當前距離屬于哪個區間
    if bin_index > num_bins
        bin_index = num_bins;
    end
    semivariances(bin_index) = semivariances(bin_index) + (data(i, 3) - data(i + 1, 3))^2;
    counts(bin_index) = counts(bin_index) + 1;
end

semivariances = semivariances ./ (2 * counts); % 計算平均半方差

2.4 繪制經驗半方差圖

最后，我們可以使用Matlab的plot函數來繪制經驗半方差圖。

bin_centers = (1:num_bins) * bin_width - bin_width / 2; % 計算每個區間的中心距離
plot(bin_centers, semivariances, '-o');
xlabel('距離');
ylabel('半方差');
title('經驗半方差圖');
grid on;

3. 使用Matlab內置函數計算變異函數

Matlab提供了內置函數variogram來計算變異函數，并繪制經驗半方差圖。使用內置函數可以簡化計算過程。

3.1 使用variogram函數

% 假設data是一個包含坐標和觀測值的矩陣
coordinates = data(:, 1:2);
values = data(:, 3);

% 計算變異函數
[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values);

% 繪制經驗半方差圖
plot(distances, semivariances, '-o');
xlabel('距離');
ylabel('半方差');
title('經驗半方差圖');
grid on;

3.2 自定義距離區間

variogram函數允許用戶自定義距離區間?？梢酝ㄟ^設置'nrbins'參數來指定距離區間的數量。

[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values, 'nrbins', 10);

3.3 處理缺失值

如果數據中存在缺失值，可以使用'maxdist'參數來限制計算的最大距離，以避免包含缺失值的點對。

[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values, 'maxdist', 10);

4. 擬合理論變異函數模型

在實際應用中，我們通常需要擬合一個理論變異函數模型來描述數據的空間自相關性。常見的理論模型包括球狀模型、指數模型和高斯模型。

4.1 球狀模型

球狀模型的公式如下：

[ \gamma(h) = \begin{cases} C_0 + C \left( \frac{3h}{2a} - \frac{h^3}{2a^3} \right) & \text{if } h \leq a \ C_0 + C & \text{if } h > a \end{cases} ]

其中，( C_0 ) 是塊金效應，( C ) 是基臺值，( a ) 是變程。

4.2 指數模型

指數模型的公式如下：

[ \gamma(h) = C_0 + C \left( 1 - \exp\left(-\frac{h}{a}\right) \right) ]

4.3 高斯模型

高斯模型的公式如下：

[ \gamma(h) = C_0 + C \left( 1 - \exp\left(-\frac{h^2}{a^2}\right) \right) ]

4.4 使用fitvariogram函數擬合模型

Matlab提供了fitvariogram函數來擬合理論變異函數模型。

% 假設我們已經計算了經驗半方差
[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values);

% 擬合球狀模型
model = fitvariogram(distances, semivariances, 'model', 'spherical');

% 繪制擬合結果
plot(distances, semivariances, 'o');
hold on;
plot(model);
xlabel('距離');
ylabel('半方差');
title('擬合球狀模型');
grid on;
legend('經驗半方差', '擬合模型');

5. 應用實例

5.1 數據生成

為了演示如何使用Matlab計算變異函數并繪制經驗半方差圖，我們首先生成一組模擬數據。

% 生成隨機坐標
rng(1); % 設置隨機種子
coordinates = rand(100, 2) * 10; % 生成100個隨機坐標，范圍在[0, 10]

% 生成隨機觀測值
values = sin(coordinates(:, 1)) + cos(coordinates(:, 2)) + randn(100, 1) * 0.1;

5.2 計算變異函數

使用variogram函數計算變異函數。

[distances, semivariances] = variogram(coordinates, values);

5.3 繪制經驗半方差圖

plot(distances, semivariances, '-o');
xlabel('距離');
ylabel('半方差');
title('經驗半方差圖');
grid on;

5.4 擬合理論模型

擬合球狀模型并繪制結果。

model = fitvariogram(distances, semivariances, 'model', 'spherical');

plot(distances, semivariances, 'o');
hold on;
plot(model);
xlabel('距離');
ylabel('半方差');
title('擬合球狀模型');
grid on;
legend('經驗半方差', '擬合模型');

6. 總結

本文詳細介紹了如何使用Matlab計算變異函數并繪制經驗半方差圖。通過計算變異函數，我們可以了解空間數據的自相關性，從而為后續的空間插值和預測提供依據。Matlab提供了內置函數variogram和fitvariogram，使得計算和擬合變異函數變得更加簡便。通過本文的實例，讀者可以掌握如何使用Matlab進行空間數據分析，并應用于實際問題中。

參考文獻

1. Cressie, N. A. C. (1993). Statistics for Spatial Data. Wiley.
2. Isaaks, E. H., & Srivastava, R. M. (1989). An Introduction to Applied Geostatistics. Oxford University Press.
3. Matlab Documentation: Variogram

通過本文的學習，讀者應能夠掌握使用Matlab計算變異函數并繪制經驗半方差圖的基本方法，并能夠應用這些方法進行空間數據分析。希望本文對讀者在地統計學和空間數據分析領域的研究和實踐有所幫助。