C語言算法中如何解決佩奇借書問題

C語言算法中如何解決佩奇借書問題

問題描述

佩奇借書問題是一個經典的算法問題，通常用于演示遞歸和動態規劃的應用。問題的描述如下：

佩奇有n本書，每本書都有一個特定的頁數。她希望從這些書中選擇一些書，使得這些書的總頁數恰好等于一個給定的目標值T。如果存在這樣的選擇，輸出“Yes”，否則輸出“No”。

解決思路

1. 遞歸方法

遞歸方法是最直觀的解決方案。我們可以通過遞歸地嘗試選擇或不選擇每一本書來檢查是否存在一個子集的總和等于目標值。

#include <stdio.h>

// 遞歸函數，檢查是否存在子集的總和等于目標值
int isSubsetSum(int books[], int n, int target) {
    // 基本情況
    if (target == 0) return 1; // 找到滿足條件的子集
    if (n == 0 && target != 0) return 0; // 沒有書可選且目標值不為0

    // 如果最后一本書的頁數大于目標值，忽略它
    if (books[n-1] > target)
        return isSubsetSum(books, n-1, target);

    // 遞歸地檢查是否包含或不包含當前書
    return isSubsetSum(books, n-1, target) || 
           isSubsetSum(books, n-1, target - books[n-1]);
}

int main() {
    int books[] = {10, 20, 30, 40};
    int n = sizeof(books) / sizeof(books[0]);
    int target = 50;

    if (isSubsetSum(books, n, target))
        printf("Yes\n");
    else
        printf("No\n");

    return 0;
}

2. 動態規劃方法

遞歸方法的時間復雜度較高，因為它會重復計算相同的子問題。動態規劃方法通過存儲中間結果來避免重復計算，從而提高效率。

#include <stdio.h>
#include <stdbool.h>

// 動態規劃函數，檢查是否存在子集的總和等于目標值
bool isSubsetSumDP(int books[], int n, int target) {
    bool dp[n+1][target+1];

    // 初始化dp數組
    for (int i = 0; i <= n; i++)
        dp[i][0] = true; // 目標值為0時，總是存在空子集

    for (int i = 1; i <= target; i++)
        dp[0][i] = false; // 沒有書可選且目標值不為0時，不存在滿足條件的子集

    // 填充dp數組
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= target; j++) {
            if (books[i-1] > j)
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else
                dp[i][j] = dp[i-1][j] || dp[i-1][j - books[i-1]];
        }
    }

    return dp[n][target];
}

int main() {
    int books[] = {10, 20, 30, 40};
    int n = sizeof(books) / sizeof(books[0]);
    int target = 50;

    if (isSubsetSumDP(books, n, target))
        printf("Yes\n");
    else
        printf("No\n");

    return 0;
}

總結

佩奇借書問題可以通過遞歸和動態規劃兩種方法來解決。遞歸方法簡單直觀，但效率較低；動態規劃方法通過存儲中間結果，顯著提高了算法的效率。在實際應用中，動態規劃方法通常是更優的選擇，尤其是在處理大規模數據時。

通過理解和掌握這兩種方法，我們可以更好地解決類似的子集和問題，并在實際編程中靈活應用。