遞歸與回溯是算法設計中非常重要的兩種技術，廣泛應用于解決各種復雜問題。遞歸是一種通過函數調用自身來解決問題的方法，而回溯則是一種通過嘗試所有可能的解并在發現不滿足條件時回退的方法。本文將詳細介紹如何使用Java數據結構與算法實現遞歸與回溯，并通過多個經典問題來展示其應用。
遞歸是指在函數的定義中使用函數自身的方法。一個遞歸函數通常包含兩個部分：基線條件（base case）和遞歸條件（recursive case）?；€條件是遞歸終止的條件，而遞歸條件則是函數調用自身的條件。
優點： - 代碼簡潔，易于理解和實現。 - 適合解決分治問題，如樹、圖的遍歷。
缺點： - 遞歸調用會消耗?？臻g，可能導致棧溢出。 - 遞歸的效率較低，尤其是在深度較大的情況下。
階乘是遞歸的經典例子。階乘的定義為：n! = n * (n-1) * … * 1。
public class Factorial {
public static int factorial(int n) {
if (n == 0 || n == 1) { // 基線條件
return 1;
}
return n * factorial(n - 1); // 遞歸條件
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(factorial(5)); // 輸出 120
}
}
斐波那契數列是另一個經典的遞歸問題。斐波那契數列的定義為：F(n) = F(n-1) + F(n-2)，其中 F(0) = 0，F(1) = 1。
public class Fibonacci {
public static int fibonacci(int n) {
if (n == 0) { // 基線條件
return 0;
}
if (n == 1) { // 基線條件
return 1;
}
return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2); // 遞歸條件
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fibonacci(10)); // 輸出 55
}
}
漢諾塔問題是遞歸的經典應用之一。問題的描述是：有三根柱子，其中一根柱子上有若干個大小不一的圓盤，圓盤按大小順序從上到下排列。目標是將所有圓盤從起始柱子移動到目標柱子，且在移動過程中始終保持小圓盤在上，大圓盤在下。
public class HanoiTower {
public static void hanoi(int n, char from, char to, char aux) {
if (n == 1) { // 基線條件
System.out.println("Move disk 1 from " + from + " to " + to);
return;
}
hanoi(n - 1, from, aux, to); // 遞歸條件
System.out.println("Move disk " + n + " from " + from + " to " + to);
hanoi(n - 1, aux, to, from); // 遞歸條件
}
public static void main(String[] args) {
hanoi(3, 'A', 'C', 'B'); // 輸出移動步驟
}
}
回溯是一種通過嘗試所有可能的解并在發現不滿足條件時回退的方法?；厮萃ǔＳ糜诮鉀Q組合問題、排列問題、子集問題等。
優點： - 能夠系統地搜索所有可能的解。 - 適合解決組合問題、排列問題等。
缺點： - 時間復雜度較高，尤其是在解空間較大的情況下。 - 需要額外的空間來存儲中間狀態。
八皇后問題要求在8x8的棋盤上放置八個皇后，使得它們互不攻擊?；屎罂梢怨敉恍?、同一列或同一對角線上的其他皇后。
public class EightQueens {
private static final int N = 8;
private static int[] queens = new int[N]; // queens[i]表示第i行的皇后放在第queens[i]列
public static boolean isSafe(int row, int col) {
for (int i = 0; i < row; i++) {
if (queens[i] == col || Math.abs(queens[i] - col) == Math.abs(i - row)) {
return false;
}
}
return true;
}
public static boolean solve(int row) {
if (row == N) { // 基線條件
return true;
}
for (int col = 0; col < N; col++) {
if (isSafe(row, col)) {
queens[row] = col;
if (solve(row + 1)) { // 遞歸條件
return true;
}
}
}
return false; // 回溯
}
public static void printSolution() {
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
if (queens[i] == j) {
System.out.print("Q ");
} else {
System.out.print(". ");
}
}
System.out.println();
}
}
public static void main(String[] args) {
if (solve(0)) {
printSolution();
} else {
System.out.println("No solution exists");
}
}
}
數獨求解問題要求填充一個9x9的數獨棋盤，使得每行、每列和每個3x3的小九宮格內的數字均不重復。
public class SudokuSolver {
private static final int N = 9;
public static boolean isSafe(int[][] board, int row, int col, int num) {
for (int i = 0; i < N; i++) {
if (board[row][i] == num || board[i][col] == num) {
return false;
}
}
int startRow = row - row % 3;
int startCol = col - col % 3;
for (int i = 0; i < 3; i++) {
for (int j = 0; j < 3; j++) {
if (board[startRow + i][startCol + j] == num) {
return false;
}
}
}
return true;
}
public static boolean solve(int[][] board) {
for (int row = 0; row < N; row++) {
for (int col = 0; col < N; col++) {
if (board[row][col] == 0) {
for (int num = 1; num <= 9; num++) {
if (isSafe(board, row, col, num)) {
board[row][col] = num;
if (solve(board)) { // 遞歸條件
return true;
}
board[row][col] = 0; // 回溯
}
}
return false; // 回溯
}
}
}
return true; // 基線條件
}
public static void printBoard(int[][] board) {
for (int i = 0; i < N; i++) {
for (int j = 0; j < N; j++) {
System.out.print(board[i][j] + " ");
}
System.out.println();
}
}
public static void main(String[] args) {
int[][] board = {
{5, 3, 0, 0, 7, 0, 0, 0, 0},
{6, 0, 0, 1, 9, 5, 0, 0, 0},
{0, 9, 8, 0, 0, 0, 0, 6, 0},
{8, 0, 0, 0, 6, 0, 0, 0, 3},
{4, 0, 0, 8, 0, 3, 0, 0, 1},
{7, 0, 0, 0, 2, 0, 0, 0, 6},
{0, 6, 0, 0, 0, 0, 2, 8, 0},
{0, 0, 0, 4, 1, 9, 0, 0, 5},
{0, 0, 0, 0, 8, 0, 0, 7, 9}
};
if (solve(board)) {
printBoard(board);
} else {
System.out.println("No solution exists");
}
}
}
組合總和問題要求從給定數組中找到所有和為特定值的組合。每個數字可以使用多次。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class CombinationSum {
public static List<List<Integer>> combinationSum(int[] candidates, int target) {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
backtrack(result, new ArrayList<>(), candidates, target, 0);
return result;
}
private static void backtrack(List<List<Integer>> result, List<Integer> tempList, int[] candidates, int remain, int start) {
if (remain < 0) { // 基線條件
return;
} else if (remain == 0) { // 基線條件
result.add(new ArrayList<>(tempList));
} else {
for (int i = start; i < candidates.length; i++) {
tempList.add(candidates[i]);
backtrack(result, tempList, candidates, remain - candidates[i], i); // 遞歸條件
tempList.remove(tempList.size() - 1); // 回溯
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] candidates = {2, 3, 6, 7};
int target = 7;
List<List<Integer>> result = combinationSum(candidates, target);
for (List<Integer> list : result) {
System.out.println(list);
}
}
}
全排列問題要求生成給定數組的所有可能的排列。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Permutations {
public static List<List<Integer>> permute(int[] nums) {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
backtrack(result, new ArrayList<>(), nums);
return result;
}
private static void backtrack(List<List<Integer>> result, List<Integer> tempList, int[] nums) {
if (tempList.size() == nums.length) { // 基線條件
result.add(new ArrayList<>(tempList));
} else {
for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
if (tempList.contains(nums[i])) { // 跳過已使用的元素
continue;
}
tempList.add(nums[i]);
backtrack(result, tempList, nums); // 遞歸條件
tempList.remove(tempList.size() - 1); // 回溯
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] nums = {1, 2, 3};
List<List<Integer>> result = permute(nums);
for (List<Integer> list : result) {
System.out.println(list);
}
}
}
子集生成問題要求生成給定數組的所有可能的子集。
import java.util.ArrayList;
import java.util.List;
public class Subsets {
public static List<List<Integer>> subsets(int[] nums) {
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
backtrack(result, new ArrayList<>(), nums, 0);
return result;
}
private static void backtrack(List<List<Integer>> result, List<Integer> tempList, int[] nums, int start) {
result.add(new ArrayList<>(tempList)); // 基線條件
for (int i = start; i < nums.length; i++) {
tempList.add(nums[i]);
backtrack(result, tempList, nums, i + 1); // 遞歸條件
tempList.remove(tempList.size() - 1); // 回溯
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] nums = {1, 2, 3};
List<List<Integer>> result = subsets(nums);
for (List<Integer> list : result) {
System.out.println(list);
}
}
}
深度優先搜索（DFS）是圖遍歷的一種方法，通常使用遞歸實現。
import java.util.*;
public class GraphDFS {
private int V; // 頂點數
private LinkedList<Integer>[] adj; // 鄰接表
public GraphDFS(int v) {
V = v;
adj = new LinkedList[v];
for (int i = 0; i < v; i++) {
adj[i] = new LinkedList<>();
}
}
public void addEdge(int v, int w) {
adj[v].add(w);
}
public void dfs(int v, boolean[] visited) {
visited[v] = true; // 標記當前頂點為已訪問
System.out.print(v + " ");
for (int n : adj[v]) {
if (!visited[n]) {
dfs(n, visited); // 遞歸條件
}
}
}
public static void main(String[] args) {
GraphDFS g = new GraphDFS(4);
g.addEdge(0, 1);
g.addEdge(0, 2);
g.addEdge(1, 2);
g.addEdge(2, 0);
g.addEdge(2, 3);
g.addEdge(3, 3);
boolean[] visited = new boolean[4];
g.dfs(2, visited); // 從頂點2開始DFS
}
}
剪枝是指在遞歸或回溯過程中，提前終止不符合條件的路徑，從而減少不必要的計算。
public class Pruning {
public static void backtrack(int[] nums, List<List<Integer>> result, List<Integer> tempList, int start) {
if (tempList.size() == nums.length) {
result.add(new ArrayList<>(tempList));
} else {
for (int i = start; i < nums.length; i++) {
if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) { // 剪枝條件
continue;
}
tempList.add(nums[i]);
backtrack(nums, result, tempList, i + 1);
tempList.remove(tempList.size() - 1);
}
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] nums = {1, 2, 2};
List<List<Integer>> result = new ArrayList<>();
backtrack(nums, result, new ArrayList<>(), 0);
for (List<Integer> list : result) {
System.out.println(list);
}
}
}
記憶化是指在遞歸過程中，將已經計算過的結果存儲起來，避免重復計算。
import java.util.HashMap;
import java.util.Map;
public class Memoization {
private static Map<Integer, Integer> memo = new HashMap<>();
public static int fibonacci(int n) {
if (n == 0 || n == 1) {
return n;
}
if (memo.containsKey(n)) {
return memo.get(n);
}
int result = fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
memo.put(n, result);
return result;
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(fibonacci(10)); // 輸出 55
}
}
尾遞歸是指遞歸調用發生在函數的最后一步。尾遞歸可以被編譯器優化為迭代，從而減少?？臻g的使用。
public class TailRecursion {
public static int factorial(int n, int acc) {
if (n == 0 || n == 1) {
return acc;
}
return factorial(n - 1, n * acc); // 尾遞歸
}
public static void main(String[] args) {
System.out.println(factorial(5, 1)); // 輸出 120
}
}
遞歸與回溯是算法設計中非常重要的兩種技術，廣泛應用于解決各種復雜問題。本文通過多個經典問題展示了如何使用Java數據結構與算法實現遞歸與回溯，并介紹了優化遞歸與回溯的方法，如剪枝、記憶化和尾遞歸優化。掌握這些技術將有助于你更好地理解和解決復雜的算法問題。
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