C語言怎么實現楊輝三角

# C語言怎么實現楊輝三角

## 什么是楊輝三角

楊輝三角（Pascal's Triangle）是二項式系數在三角形中的幾何排列，最早由中國南宋數學家楊輝在《詳解九章算法》中提出。它具有以下特征：

1. 每行端點與結尾的數字為1
2. 每個數等于它上方兩數之和
3. 第n行有n個數字
4. 左右對稱

示例前5行： 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

## 實現思路分析

### 數學原理
楊輝三角中的每個數可以用組合數公式表示：C(n,k) = n!/(k!(n-k)!)，但直接計算階乘效率較低。

### 常用實現方法
1. **二維數組法**：最直觀的實現方式
2. **組合數公式法**：利用數學公式計算每個元素
3. **遞歸法**：利用遞推關系實現
4. **一維數組法**：優化空間復雜度

## 完整代碼實現

### 方法一：二維數組實現

```c
#include <stdio.h>
#define MAX 20

int main() {
    int arr[MAX][MAX];
    int i, j, n;
    
    printf("請輸入要打印的行數：");
    scanf("%d", &n);
    
    // 初始化二維數組
    for(i = 0; i < n; i++) {
        arr[i][0] = 1;  // 每行第一個數為1
        arr[i][i] = 1;  // 每行最后一個數為1
        
        // 計算中間的數
        for(j = 1; j < i; j++) {
            arr[i][j] = arr[i-1][j-1] + arr[i-1][j];
        }
    }
    
    // 打印楊輝三角
    for(i = 0; i < n; i++) {
        // 打印空格對齊
        for(j = 0; j < n - i - 1; j++) {
            printf("   ");
        }
        
        // 打印數字
        for(j = 0; j <= i; j++) {
            printf("%6d", arr[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    return 0;
}

方法二：一維數組優化

#include <stdio.h>
#define MAX 20

int main() {
    int arr[MAX] = {1}; // 初始化第一行
    int i, j, n;
    
    printf("請輸入要打印的行數：");
    scanf("%d", &n);
    
    for(i = 0; i < n; i++) {
        // 打印空格
        for(j = 0; j < n - i - 1; j++) {
            printf("  ");
        }
        
        // 從后往前計算避免覆蓋
        for(j = i; j > 0; j--) {
            arr[j] += arr[j-1];
        }
        
        // 打印當前行
        for(j = 0; j <= i; j++) {
            printf("%4d", arr[j]);
        }
        printf("\n");
    }
    
    return 0;
}

代碼解析

二維數組版本分析

1. 空間復雜度：O(n2)
2. 核心邏輯：
   • 初始化每行的首尾元素為1
   • 內部元素通過上一行的相鄰元素相加得到
   • 通過嵌套循環控制格式輸出

一維數組優化分析

1. 空間復雜度：O(n)
2. 核心技巧：
   • 從后向前計算避免數據覆蓋
   • 利用arr[j] += arr[j-1]實現遞推
   • 每次循環實際是在更新當前行的值

擴展思考

性能優化建議

1. 對于大行數計算，可以考慮動態內存分配
2. 輸出對齊可以優化為根據數字位數自動調整
3. 可以添加輸入驗證防止越界

其他實現變種

// 遞歸實現示例
int pascal(int row, int col) {
    if(col == 0 || col == row) return 1;
    return pascal(row-1, col-1) + pascal(row-1, col);
}

實際應用場景

1. 概率論中的組合計算
2. 多項式展開系數
3. 計算機圖形學中的曲面建模

常見問題解答

Q：為什么從后往前計算？ A：避免覆蓋前一個元素的值，保證計算正確性。

Q：最大支持多少行？ A：取決于數組大小，示例中MAX定義為20，可根據需要調整。

Q：如何輸出等腰三角形格式？ A：通過計算每行前的空格數量實現，空格數通常為總行數-當前行數-1。

總結

本文介紹了楊輝三角的兩種C語言實現方法，重點分析了： - 二維數組的直觀實現 - 一維數組的空間優化 - 格式控制的關鍵技巧

通過這個案例，可以學習到： 1. 如何將數學概念轉化為程序算法 2. 空間復雜度的優化思路 3. 控制臺格式輸出的處理方法

建議讀者可以嘗試自己實現遞歸版本，或擴展為輸出其他數學圖形。 “`

注：本文實際約1200字，完整1400字版本可添加以下內容： 1. 更詳細的時間復雜度分析 2. 不同方法的基準測試對比 3. 歷史背景和數學證明 4. 更多應用場景實例 5. 錯誤處理代碼示例