php怎么解決三個水桶等分8升水問題

# PHP怎么解決三個水桶等分8升水問題

## 問題描述

經典的"三個水桶等分水"問題描述如下：

- 有三個水桶，容量分別為8升、5升和3升
- 初始狀態：8升桶裝滿水（8,0,0）
- 目標狀態：將8升水平均分成兩份（4,4,0）
- 允許的操作：裝滿、倒空、互相倒水

## 解決思路

這個問題可以通過**廣度優先搜索(BFS)**算法來解決。BFS適合尋找最短路徑或最少步驟的解決方案，其核心思想是：

1. 從初始狀態開始
2. 生成所有可能的下一步狀態
3. 檢查是否達到目標狀態
4. 未達到則繼續探索

## PHP實現代碼

```php
<?php
class WaterBucketProblem {
    private $capacities;
    private $visited = [];
    private $queue = [];
    
    public function __construct($buckets) {
        $this->capacities = $buckets;
    }
    
    // 檢查狀態是否合法
    private function isValidState($state) {
        foreach ($state as $i => $amount) {
            if ($amount < 0 || $amount > $this->capacities[$i]) {
                return false;
            }
        }
        return true;
    }
    
    // 生成所有可能的下一步狀態
    private function generateNextStates($current) {
        $nextStates = [];
        $count = count($this->capacities);
        
        // 遍歷所有可能的倒水組合
        for ($from = 0; $from < $count; $from++) {
            for ($to = 0; $to < $count; $to++) {
                if ($from === $to) continue;
                
                // 計算可以倒出的水量
                $amount = min($current[$from], $this->capacities[$to] - $current[$to]);
                if ($amount <= 0) continue;
                
                // 生成新狀態
                $newState = $current;
                $newState[$from] -= $amount;
                $newState[$to] += $amount;
                
                if ($this->isValidState($newState)) {
                    $nextStates[] = $newState;
                }
            }
        }
        
        return $nextStates;
    }
    
    // BFS解決函數
    public function solve($initialState, $target) {
        $this->queue = [[$initialState, []]];
        
        while (!empty($this->queue)) {
            [$current, $path] = array_shift($this->queue);
            
            // 檢查是否達到目標
            if ($current == $target) {
                return array_merge($path, [$current]);
            }
            
            // 標記為已訪問
            $key = implode(',', $current);
            if (isset($this->visited[$key])) {
                continue;
            }
            $this->visited[$key] = true;
            
            // 生成并處理下一步狀態
            $nextStates = $this->generateNextStates($current);
            foreach ($nextStates as $state) {
                $newPath = array_merge($path, [$current]);
                $this->queue[] = [$state, $newPath];
            }
        }
        
        return null; // 無解
    }
}

// 使用示例
$problem = new WaterBucketProblem([8, 5, 3]);
$solution = $problem->solve([8, 0, 0], [4, 4, 0]);

echo "解決步驟:\n";
foreach ($solution as $step => $state) {
    echo "步驟{$step}: [" . implode(', ', $state) . "]\n";
}
?>

代碼解析

1. 類結構設計

WaterBucketProblem類封裝了整個解決方案： - $capacities：存儲各水桶容量 - $visited：記錄已訪問狀態避免重復 - $queue：BFS使用的隊列

2. 核心方法

isValidState()

驗證狀態是否合法（水量不超容量且不為負）

generateNextStates()

生成所有可能的下一步狀態： 1. 遍歷所有可能的倒水組合（從桶A到桶B） 2. 計算可倒水量（取倒出桶當前水量和倒入桶剩余容量的較小值） 3. 生成新狀態并驗證

solve()

BFS主算法： 1. 初始化隊列 2. 循環處理隊列直到找到解 3. 檢查當前狀態是否為目標 4. 標記已訪問狀態 5. 生成并處理下一步狀態

解決方案示例

運行上述代碼將輸出類似以下步驟：

解決步驟:
步驟0: [8, 0, 0]
步驟1: [3, 5, 0]
步驟2: [3, 2, 3]
步驟3: [6, 2, 0]
步驟4: [6, 0, 2]
步驟5: [1, 5, 2]
步驟6: [1, 4, 3]
步驟7: [4, 4, 0]

算法優化

1. 狀態哈希：使用implode將狀態轉為字符串作為唯一標識
2. 剪枝策略：跳過已訪問狀態避免重復計算
3. 路徑記錄：在隊列中同時存儲路徑信息

數學原理

這個問題本質上是狀態空間搜索問題： - 每個狀態是三個水桶中水量的組合 - 狀態轉移由倒水操作定義 - 解是從初始狀態到目標狀態的最短路徑

擴展思考

1. 其他容量組合：修改$capacities可解決不同容量的類似問題
2. 可視化界面：可結合HTML/CSS實現可視化演示
3. 性能優化：對于更大規模問題可考慮A*算法

總結

通過PHP實現BFS算法，我們系統地解決了三個水桶等分水的問題。這種方法不僅適用于此特定問題，也可推廣到其他類似的搜索和路徑規劃問題中。關鍵在于： 1. 正確定義狀態表示 2. 實現有效的狀態轉移 3. 選擇合適的搜索算法

完整代碼已提供，讀者可直接運行測試或根據需要進行修改擴展。 “`