如何解決leetcode中完美數的問題

# 如何解決LeetCode中完美數的問題

## 引言

在編程面試和算法練習中，數學相關的問題常常出現。LeetCode上的**完美數（Perfect Number）**問題就是一個典型的數學與編程結合的題目。本文將詳細探討如何高效解決這個問題，涵蓋算法思路、代碼實現、復雜度分析以及優化方法。

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## 問題描述

**完美數**是指一個正整數，它等于除了自身之外的所有正約數之和。例如：

- 6的約數為1, 2, 3，且1 + 2 + 3 = 6，因此6是完美數。
- 28的約數為1, 2, 4, 7, 14，且1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28，因此28也是完美數。

**LeetCode問題描述**：  
給定一個整數`num`，判斷它是否是完美數。如果是，返回`true`；否則返回`false`。

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## 初步思路

### 暴力法
最直觀的方法是遍歷從1到`num-1`的所有整數，檢查是否是`num`的約數，然后累加這些約數，最后判斷和是否等于`num`。

```python
def isPerfectNumber(num):
    if num <= 1:
        return False
    sum_divisors = 0
    for i in range(1, num):
        if num % i == 0:
            sum_divisors += i
    return sum_divisors == num

問題：
這種方法的時間復雜度是O(n)，對于大數（如num=1e8）效率極低。

優化思路

約數成對性質

數學上，約數是成對出現的。例如，對于num=28： - 1和28（因為1×28=28） - 2和14（因為2×14=28） - 4和7（因為4×7=28）

因此，我們只需要檢查到sqrt(num)即可找到所有約數。

優化步驟： 1. 遍歷從1到sqrt(num)。 2. 如果i是約數，則將i和num/i加入和（注意避免重復添加sqrt(num)的情況）。

import math

def isPerfectNumber(num):
    if num <= 1:
        return False
    sum_divisors = 1  # 1是所有大于1的數的約數
    sqrt_num = int(math.sqrt(num)) + 1
    for i in range(2, sqrt_num):
        if num % i == 0:
            sum_divisors += i
            counterpart = num // i
            if counterpart != i:
                sum_divisors += counterpart
    return sum_divisors == num

復雜度分析： - 時間復雜度：O(sqrt(n))，顯著優于暴力法。 - 空間復雜度：O(1)。

邊界條件與特殊處理

邊界情況

1. num <= 1：完美數定義要求正整數，且1沒有真約數，直接返回False。
2. 避免重復添加平方根：例如num=16時，約數4只需添加一次。

代碼完善

def isPerfectNumber(num):
    if num <= 1:
        return False
    sum_divisors = 1
    sqrt_num = int(math.sqrt(num))
    for i in range(2, sqrt_num + 1):
        if num % i == 0:
            sum_divisors += i
            counterpart = num // i
            if counterpart != i:
                sum_divisors += counterpart
        if sum_divisors > num:  # 提前終止
            return False
    return sum_divisors == num

數學性質與進一步優化

完美數的數學性質

已知的完美數均與梅森素數（Mersenne Primes）相關，其形式為：
[ \text{Perfect Number} = 2^{p-1} \times (2^p - 1) ]
其中，( 2^p - 1 )是梅森素數。

已知的完美數： - 6 (p=2) - 28 (p=3) - 496 (p=5) - 8128 (p=7) - 33550336 (p=13)

利用數學性質優化

對于大數判斷，可以直接檢查num是否符合上述形式。但需注意： 1. 需要預先生成梅森素數列表。 2. 僅適用于已知的完美數。

代碼示例：

def isPerfectNumber(num):
    known_perfects = {6, 28, 496, 8128, 33550336}
    return num in known_perfects

適用場景：
如果題目限制num的范圍，此方法可達到O(1)時間復雜度。

實際應用與測試

測試用例

性能對比

總結

解決LeetCode完美數問題的關鍵在于： 1. 理解約數的成對性質，將時間復雜度從O(n)優化到O(sqrt(n))。 2. 處理邊界條件，如num<=1或平方根重復添加。 3. 利用數學性質（如梅森素數）進一步優化（如果允許）。

推薦方法：
在大多數情況下，優化遍歷法（O(sqrt(n))）是最平衡的選擇，兼顧效率和通用性。

擴展思考

1. 生成完美數列表：如何高效生成前N個完美數？
2. 其他數論問題：如親密數、盈數、虧數的判斷方法。
3. 并行計算優化：對大數分解約數時，能否用多線程加速？

通過完美數問題，我們不僅學習了算法優化，還深入理解了數論在編程中的應用。
練習建議：嘗試在LeetCode上提交代碼，并對比不同方法的運行時間。 “`

這篇文章涵蓋了從暴力法到數學優化的完整解決路徑，適合算法學習者深入理解完美數問題。如需調整細節或補充內容，請隨時告知！