卡方的原理及python代碼實現

卡方的原理及Python代碼實現

1. 引言

卡方檢驗（Chi-Square Test）是一種常用的統計方法，主要用于檢驗分類變量之間的獨立性或擬合優度?？ǚ綑z驗廣泛應用于醫學、社會科學、市場研究等領域，用于分析兩個或多個分類變量之間的關系。本文將詳細介紹卡方檢驗的原理，并通過Python代碼實現卡方檢驗。

2. 卡方檢驗的基本概念

2.1 卡方統計量

卡方統計量（Chi-Square Statistic）是卡方檢驗的核心指標，用于衡量觀察值與期望值之間的差異?？ǚ浇y計量的計算公式如下：

[ \chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} ]

其中，(O_i) 表示觀察值，(E_i) 表示期望值?？ǚ浇y計量越大，觀察值與期望值之間的差異越顯著。

2.2 卡方分布

卡方分布（Chi-Square Distribution）是卡方統計量的概率分布?？ǚ椒植嫉男螤钊Q于自由度（Degrees of Freedom, df）。自由度越大，卡方分布越接近正態分布?？ǚ椒植纪ǔＳ糜谟嬎憧ǚ浇y計量的p值，從而判斷觀察值與期望值之間的差異是否顯著。

2.3 卡方檢驗的類型

卡方檢驗主要有兩種類型：

1. 卡方獨立性檢驗（Chi-Square Test of Independence）：用于檢驗兩個分類變量是否獨立。
2. 卡方擬合優度檢驗（Chi-Square Goodness-of-Fit Test）：用于檢驗觀察值的分布是否符合預期的理論分布。

3. 卡方獨立性檢驗

3.1 檢驗步驟

卡方獨立性檢驗的步驟如下：

1. 建立假設：

   • 原假設（(H_0)）：兩個分類變量獨立。
   • 備擇假設（(H_1)）：兩個分類變量不獨立。

2. 構建列聯表：將兩個分類變量的觀察值整理成列聯表（Contingency Table）。

3. 計算期望值：在假設兩個變量獨立的情況下，計算每個單元格的期望值。

4. 計算卡方統計量：根據觀察值和期望值計算卡方統計量。

5. 確定顯著性水平和臨界值：根據自由度和顯著性水平查找卡方分布的臨界值。

6. 做出決策：如果卡方統計量大于臨界值，拒絕原假設；否則，接受原假設。

3.2 Python代碼實現

下面通過一個例子演示如何使用Python進行卡方獨立性檢驗。

import numpy as np
import pandas as pd
from scipy.stats import chi2_contingency

# 示例數據：性別與購買意愿的列聯表
data = np.array([[50, 30], [40, 60]])

# 進行卡方獨立性檢驗
chi2_stat, p_val, dof, expected = chi2_contingency(data)

print(f"卡方統計量: {chi2_stat}")
print(f"P值: {p_val}")
print(f"自由度: {dof}")
print("期望值表:")
print(expected)

3.3 結果解釋

• 卡方統計量：衡量觀察值與期望值之間的差異。
• P值：如果P值小于顯著性水平（通常為0.05），則拒絕原假設，認為兩個變量不獨立。
• 自由度：自由度的計算公式為 ((行數-1) \times (列數-1))。
• 期望值表：在假設兩個變量獨立的情況下，每個單元格的期望值。

4. 卡方擬合優度檢驗

4.1 檢驗步驟

卡方擬合優度檢驗的步驟如下：

1. 建立假設：

   • 原假設（(H_0)）：觀察值的分布符合預期的理論分布。
   • 備擇假設（(H_1)）：觀察值的分布不符合預期的理論分布。

2. 計算期望值：根據理論分布計算每個類別的期望值。

3. 計算卡方統計量：根據觀察值和期望值計算卡方統計量。

4. 確定顯著性水平和臨界值：根據自由度和顯著性水平查找卡方分布的臨界值。

5. 做出決策：如果卡方統計量大于臨界值，拒絕原假設；否則，接受原假設。

4.2 Python代碼實現

下面通過一個例子演示如何使用Python進行卡方擬合優度檢驗。

from scipy.stats import chisquare

# 示例數據：觀察值與期望值
observed = np.array([50, 30, 20])
expected = np.array([40, 40, 20])

# 進行卡方擬合優度檢驗
chi2_stat, p_val = chisquare(observed, f_exp=expected)

print(f"卡方統計量: {chi2_stat}")
print(f"P值: {p_val}")

4.3 結果解釋

• 卡方統計量：衡量觀察值與期望值之間的差異。
• P值：如果P值小于顯著性水平（通常為0.05），則拒絕原假設，認為觀察值的分布不符合預期的理論分布。

5. 卡方檢驗的注意事項

1. 樣本量：卡方檢驗對樣本量較為敏感，樣本量過小可能導致檢驗結果不準確。通常要求每個單元格的期望值大于5。

2. 數據類型：卡方檢驗適用于分類數據，不適用于連續數據。

3. 獨立性假設：卡方獨立性檢驗假設樣本之間是獨立的，如果樣本之間存在依賴關系，檢驗結果可能不準確。

4. 多重比較：在進行多個卡方檢驗時，需要注意多重比較問題，避免假陽性結果的增加。

6. 總結

卡方檢驗是一種強大的統計工具，適用于分析分類變量之間的關系。通過本文的介紹，讀者可以了解卡方檢驗的基本原理，并掌握如何使用Python進行卡方獨立性檢驗和擬合優度檢驗。在實際應用中，需要注意卡方檢驗的適用條件和限制，以確保檢驗結果的準確性。

7. 參考文獻

1. Agresti, A. (2013). Categorical Data Analysis. Wiley.
2. Pearson, K. (1900). On the criterion that a given system of deviations from the probable in the case of a correlated system of variables is such that it can be reasonably supposed to have arisen from random sampling. Philosophical Magazine, 50(302), 157-175.
3. Scipy Documentation: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.chi2_contingency.html
4. Scipy Documentation: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.chisquare.html

通過本文的學習，讀者應能夠理解卡方檢驗的基本原理，并能夠使用Python進行卡方檢驗的實際操作。希望本文對讀者在數據分析和統計建模中的工作有所幫助。