支持向量機（Support Vector Machine, SVM）是一種廣泛應用于分類和回歸問題的監督學習算法。SVM以其強大的泛化能力和在高維空間中的優異表現而聞名。本文將詳細介紹SVM的基礎知識點，包括其核心概念、數學基礎、核函數、軟間隔、多分類問題、優缺點以及應用場景。
支持向量機（SVM）是一種二分類模型，其基本模型定義為特征空間上的間隔最大的線性分類器。SVM的學習策略是間隔最大化，可形式化為一個求解凸二次規劃的問題。
SVM的核心思想是通過找到一個超平面，使得兩個類別的數據點能夠被最大間隔分開。這個超平面被稱為“最大間隔超平面”，而距離超平面最近的那些數據點被稱為“支持向量”。
在二維空間中，超平面是一條直線；在三維空間中，超平面是一個平面；在更高維的空間中，超平面是一個n-1維的子空間。對于線性可分的數據集，存在一個超平面可以將兩類數據完全分開。
間隔是指超平面到最近數據點的距離。SVM的目標是最大化這個間隔。支持向量是那些距離超平面最近的數據點，它們決定了超平面的位置和方向。
SVM的優化問題可以形式化為一個凸二次規劃問題。目標是最小化權向量的范數，同時滿足所有數據點的約束條件。具體來說，優化問題可以表示為：
\[ \min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 \]
約束條件為：
\[ y_i (\mathbf{w} \cdot \mathbf{x}_i + b) \geq 1, \quad \forall i \]
其中，\(\mathbf{w}\)是權向量，\(b\)是偏置項，\(y_i\)是類別標簽，\(\mathbf{x}_i\)是數據點。
核函數的作用是將原始特征空間映射到一個更高維的空間，使得在這個新空間中數據線性可分。通過使用核函數，SVM可以處理非線性分類問題。
常見的核函數包括：
通過引入核函數，SVM可以處理非線性分類問題。具體來說，非線性SVM的優化問題可以表示為：
\[ \min_{\mathbf{w}, b} \frac{1}{2} \|\mathbf{w}\|^2 + C \sum_{i=1}^n \xi_i \]
約束條件為：
\[ y_i (\mathbf{w} \cdot \phi(\mathbf{x}_i) + b) \geq 1 - \xi_i, \quad \xi_i \geq 0, \quad \forall i \]
其中，\(\phi(\mathbf{x}_i)\)是將原始特征映射到高維空間的函數，\(\xi_i\)是松弛變量，\(C\)是正則化參數。
在實際應用中，數據往往不是完全線性可分的。為了處理這種情況，SVM引入了軟間隔的概念。軟間隔允許一些數據點出現在間隔邊界之內，甚至出現在錯誤的一側。
正則化參數\(C\)控制著模型對誤分類的懲罰程度。\(C\)越大，模型對誤分類的懲罰越大，間隔越??；\(C\)越小，模型對誤分類的懲罰越小，間隔越大。
一對多方法（One-vs-Rest, OvR）是將多分類問題轉化為多個二分類問題。具體來說，對于\(K\)個類別，訓練\(K\)個SVM模型，每個模型將一個類別與其他所有類別分開。
一對一方法（One-vs-One, OvO）是將多分類問題轉化為多個二分類問題。具體來說，對于\(K\)個類別，訓練\(\frac{K(K-1)}{2}\)個SVM模型，每個模型將兩個類別分開。
SVM廣泛應用于各種領域，包括但不限于：
支持向量機（SVM）是一種強大的監督學習算法，適用于分類和回歸問題。通過最大化間隔和使用核函數，SVM能夠處理線性可分和非線性可分的數據集。盡管SVM在某些方面存在局限性，但其在高維空間中的優異表現和強大的泛化能力使其成為機器學習中的重要工具。
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