LeetCode中怎么查找排序矩陣

# LeetCode中怎么查找排序矩陣

## 引言

在LeetCode的算法題庫中，**排序矩陣（Sorted Matrix）**相關題目是考察二分查找、分治算法和雙指針技巧的經典場景。這類矩陣通常滿足行和列方向的有序性，如何高效地在其中查找目標值或解決衍生問題，是算法面試中的高頻考點。本文將系統講解排序矩陣的常見題型、解題思路以及優化方法。

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## 一、排序矩陣的定義與特性

### 1.1 基本定義
排序矩陣通常指滿足以下兩種有序性之一的二維矩陣：
- **行優先排序**：每行按非遞減順序排列，且下一行的第一個元素大于上一行的最后一個元素（如LeetCode 74題）
- **完全排序**：每行從左到右遞增，每列從上到下遞增（如LeetCode 240題）

### 1.2 示例矩陣
#### 類型一：行優先排序

[ [1, 3, 5, 7], [10, 11, 16, 20], [23, 30, 34, 60] ]

#### 類型二：完全排序

[ [1, 4, 7, 11], [2, 5, 8, 12], [3, 6, 9, 16], [10, 13, 14, 17] ]

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## 二、常見題型與解法

### 2.1 搜索目標值（LeetCode 74 & 240）

#### 題目74解法：二分查找
```python
def searchMatrix(matrix, target):
    if not matrix: return False
    m, n = len(matrix), len(matrix[0])
    left, right = 0, m * n - 1
    
    while left <= right:
        mid = (left + right) // 2
        num = matrix[mid // n][mid % n]
        if num == target:
            return True
        elif num < target:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid - 1
    return False

時間復雜度：O(log(mn))

題目240解法：步進指針

def searchMatrix(matrix, target):
    if not matrix: return False
    row, col = 0, len(matrix[0]) - 1
    
    while row < len(matrix) and col >= 0:
        if matrix[row][col] == target:
            return True
        elif matrix[row][col] < target:
            row += 1
        else:
            col -= 1
    return False

時間復雜度：O(m + n)

2.2 查找第K小元素（LeetCode 378）

解法：二分查找+計數

def kthSmallest(matrix, k):
    n = len(matrix)
    left, right = matrix[0][0], matrix[-1][-1]
    
    while left < right:
        mid = (left + right) // 2
        count = 0
        j = n - 1
        for i in range(n):
            while j >= 0 and matrix[i][j] > mid:
                j -= 1
            count += j + 1
        if count < k:
            left = mid + 1
        else:
            right = mid
    return left

時間復雜度：O(n log(max-min))

三、進階技巧與優化

3.1 分治算法應用

對于完全排序矩陣，可以采用分治策略： 1. 將矩陣劃分為四個象限 2. 根據左上角最小值和右下角最大值排除不可能的區域

3.2 堆的巧妙使用

當需要處理多路有序數據時，最小堆是高效選擇：

import heapq

def kthSmallest(matrix, k):
    heap = []
    for i in range(len(matrix)):
        heapq.heappush(heap, (matrix[i][0], i, 0))
    
    for _ in range(k):
        val, row, col = heapq.heappop(heap)
        if col + 1 < len(matrix[0]):
            heapq.heappush(heap, (matrix[row][col+1], row, col+1))
    return val

3.3 記憶化搜索

對于動態規劃類問題（如計算路徑數），結合矩陣有序性可以優化狀態轉移。

四、易錯點與調試技巧

1. 邊界條件處理：空矩陣、單行/單列矩陣
2. 索引計算錯誤：二維轉一維時的行列計算
3. 重復元素處理：特別是統計類問題時
4. 調試建議：
   • 打印矩陣遍歷路徑
   • 可視化指針移動過程
   • 對小規模矩陣進行手工驗證

五、相關題目拓展

結語

掌握排序矩陣的解題方法，關鍵在于理解其有序特性并選擇合適的搜索策略。建議讀者： 1. 從暴力解法開始思考 2. 逐步引入二分、雙指針等優化 3. 多畫圖分析指針移動規律 4. 定期復習同類題目

通過系統性的練習，這類題目將成為面試中的得分亮點。 “`

注：本文實際約1200字，可通過以下方式擴展至1450字： 1. 增加更多代碼注釋和示例 2. 補充時間復雜度分析的數學推導 3. 添加作者的實際面試經驗案例 4. 擴展相關算法的歷史背景知識