C++如何實現拓撲排序算法

# C++如何實現拓撲排序算法

## 目錄
1. [拓撲排序概述](#一拓撲排序概述)
   - 定義與應用場景
   - 基本概念解析
2. [算法原理詳解](#二算法原理詳解)
   - Kahn算法
   - 深度優先搜索(DFS)實現
3. [C++實現基礎版本](#三c實現基礎版本)
   - 鄰接表表示圖
   - Kahn算法實現
   - DFS實現
4. [復雜度分析與優化](#四復雜度分析與優化)
   - 時間空間復雜度
   - 性能優化技巧
5. [實際應用案例](#五實際應用案例)
   - 課程安排系統
   - 編譯系統依賴管理
6. [完整代碼示例](#六完整代碼示例)
7. [常見問題與解決方案](#七常見問題與解決方案)
8. [擴展與變種](#八擴展與變種)

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## 一、拓撲排序概述

### 定義與應用場景
拓撲排序（Topological Sorting）是針對有向無環圖（DAG, Directed Acyclic Graph）的線性排序算法，使得對于圖中的每條有向邊 (u, v)，u 在排序中總是位于 v 的前面。典型應用場景包括：

- 任務調度（如Makefile編譯順序）
- 課程選修順序規劃
- 軟件包依賴解析
- 事件先后關系建模

### 基本概念解析
- **DAG性質**：圖中不存在任何環路
- **偏序與全序**：拓撲排序結果可能不唯一
- **入度與出度**：關鍵節點度量指標

數學表示：
對于圖G=(V,E)，拓撲排序是頂點的一個排列L，滿足：
?(u,v)∈E ? u在L中位于v之前

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## 二、算法原理詳解

### Kahn算法
```cpp
// 偽代碼示例
L ← 空列表
S ← 所有入度為0的節點集合
while S 非空 do
    從S中移除節點n
    將n插入L
    for 每個從n出發的邊e = (n,m) do
        移除邊e
        if m的入度為0 then
            將m插入S
if 圖中還有邊 then
    報錯(存在環路)
else 
    返回L(拓撲排序結果)

深度優先搜索(DFS)實現

// 偽代碼示例
function DFS(node):
    if node未訪問 then
       標記node為臨時訪問
       for 每個鄰接節點m do
           DFS(m)
       標記node為永久訪問
       將node插入結果隊列頭部

算法對比：

三、C++實現基礎版本

鄰接表表示圖

#include <vector>
#include <list>
using namespace std;

class Graph {
    int V; // 頂點數
    list<int>* adj; // 鄰接表
public:
    Graph(int V) : V(V), adj(new list<int>[V]) {}
    void addEdge(int u, int v) { adj[u].push_back(v); }
};

Kahn算法實現

vector<int> topologicalSortKahn(Graph& g) {
    vector<int> inDegree(g.V, 0);
    // 計算所有節點入度
    for (int u = 0; u < g.V; u++) 
        for (int v : g.adj[u]) 
            inDegree[v]++;
    
    queue<int> q;
    for (int i = 0; i < g.V; i++)
        if (inDegree[i] == 0) q.push(i);
    
    vector<int> result;
    while (!q.empty()) {
        int u = q.front(); q.pop();
        result.push_back(u);
        for (int v : g.adj[u]) 
            if (--inDegree[v] == 0) 
                q.push(v);
    }
    return result.size() == g.V ? result : vector<int>();
}

DFS實現

bool topologicalSortDFS(int u, vector<int>& visited, 
                       list<int>& result, Graph& g) {
    if (visited[u] == 1) return false; // 存在環路
    if (visited[u] == 2) return true;
    
    visited[u] = 1; // 臨時標記
    for (int v : g.adj[u]) 
        if (!topologicalSortDFS(v, visited, result, g))
            return false;
    
    visited[u] = 2; // 永久標記
    result.push_front(u);
    return true;
}

list<int> topologicalSortDFS(Graph& g) {
    vector<int> visited(g.V, 0);
    list<int> result;
    for (int i = 0; i < g.V; i++)
        if (!topologicalSortDFS(i, visited, result, g))
            return list<int>(); // 返回空表示有環
    return result;
}

四、復雜度分析與優化

時間復雜度

• Kahn算法：O(V+E)
• DFS實現：O(V+E)

空間復雜度

兩種實現均為O(V)

優化技巧

1. 并行計算：獨立節點可并行處理
2. 增量更新：動態圖的拓撲排序維護
3. 內存優化：使用位標記替代visited數組

性能對比實驗數據：

五、實際應用案例

課程安排系統

// 課程依賴關系示例
Graph g(4);
g.addEdge(1, 0); // 課程1是課程0的先修
g.addEdge(2, 0);
g.addEdge(3, 1);

auto order = topologicalSortKahn(g);
// 輸出：3 2 1 0

編譯系統依賴管理

// 文件編譯順序示例
unordered_map<string, int> fileIndex = {
    {"main.cpp", 0}, {"utils.h", 1}, 
    {"math.cpp", 2}, {"math.h", 3}};

Graph g(4);
g.addEdge(fileIndex["math.cpp"], fileIndex["math.h"]);
g.addEdge(fileIndex["main.cpp"], fileIndex["utils.h"]);

六、完整代碼示例

（此處應包含300-500行完整可編譯代碼，包含測試用例和異常處理）

七、常見問題與解決方案

Q1：如何處理環路檢測？

// Kahn算法中
if (result.size() != g.V) {
    cerr << "Graph contains a cycle!" << endl;
}

Q2：大規模圖的內存優化

建議使用： - 緊湊鄰接表（CSR格式） - 位壓縮存儲入度數組

八、擴展與變種

加權拓撲排序

考慮節點權重，實現優先級調度

并行拓撲排序

利用多線程處理獨立節點

動態拓撲排序

支持增量更新的在線算法

參考文獻

1. 《算法導論》第22章
2. Knuth, D. E. (1997). The Art of Computer Programming
3. 最新研究論文（2020-2023）

（注：實際文章需擴展每個部分的代碼示例、圖表、數學推導和詳細說明以達到萬字規模） “`

這篇文章大綱提供了完整的技術文章結構，實際撰寫時需要： 1. 擴展每個算法的數學證明 2. 添加更多性能對比圖表 3. 補充工業級應用案例 4. 增加算法可視化圖示 5. 詳細解釋每個代碼段的實現細節 6. 添加參考文獻和延伸閱讀建議

需要我繼續擴展某個具體部分嗎？