機器學習筆記之 線性回歸技術

　　一、概念

　　線性回歸是一種有監督的回歸分析技術，其是找出自變量與因變量之間的因果關系，本質上是一個函數估計的問題?；貧w分析的因變量應該是連續變量，若因變量為離散變量，則問題就轉化為分類問題?；貧w分析主要應用場景為預測，常用的算法有如下：線性回歸、二項式回歸、嶺回歸、Lasso等。

　　二、模型的表達式及推導

　　現有如下訓練集：

　　D={(X1，Y1),(X2，Y2),...,(Xn,Yn)}

　　寫成矩陣形式：

　　現在目的是對于給定的X找出W的最優解

　　采用最小二乘法來求解：先假設這個線的方程成立，然后把樣本數據點代入假設的方程得到觀測值，求使得實際值與觀測值相減的平方和最小的參數。對變量求偏導聯立便可求。

　　因此我們可以得到如下的損失函數：

　　推導：

　　目標是求的W使得損失函數的值最小，求解如下：

　　對W求偏導，得出如下結果：

　　本文主要介紹線性回歸的一般推導，后續會推出采用梯度下降法求上述解的過程。

　　代碼實例

　　本文在實現線性回歸的技術時，為了作為對比，采用了多種回歸算法技術，如普通線性回歸，貝葉斯回歸，SVM，集成算法等，這樣對于算法的選擇有一個比較。下面來看具體代碼實現：

　　import numpy as np

　　import pandas as pd

　　import matplotlib.pyplot as plt #導入圖形展示庫

　　from sklearn.linear_model import BayesianRidge,LinearRegression,ElasticNet #批量導入要實現的回歸算法

　　from sklearn.svm import SVR #SVM中的回歸算法

　　from sklearn.ensemble.gradient_boosting import GradientBoostingRegressor #集成算法

　　from sklearn.model_selection import cross_val_score #交叉檢驗

　　from sklearn.metrics import explained_variance_score,mean_absolute_error,mean_squared_error,r2_score #批量導入指標算法

　　raw_data=np.loadtxt('D:\\data\\regression.txt')

　　x=raw_data[:,:-1] #分隔自變量

　　y=raw_data[:,-1] #分隔因變量

　　#訓練回歸模型無錫婦科檢查醫院 http://www.87554006.com/

　　n_folds=6 #設置交叉檢驗的次數

　　model_br=BayesianRidge() #建立貝葉斯嶺回歸模型對象

　　model_lr=LinearRegression() #建立普通線性回歸模型對象

　　model_etc=ElasticNet() #建立彈性網絡回歸模型

　　model_svr=SVR() #建立支持向量機回歸模型

　　model_gbr=GradientBoostingRegressor() #建立梯度增強回歸模型對象

　　model_names=['BayesianRidge','LinearRegression','ElasticNet','SVR','GBR'] #不同模型的名稱列表

　　model_dic=[model_br,model_lr,model_etc,model_svr,model_gbr] #不同模型對象名稱的列表

　　cv_score_list=[] #交叉驗證結果列表

　　pre_y_list=[] #各個回歸模型預測的y值列表

　　for model in model_dic: #讀出每個回歸模型對象

　　scores=cross_val_score(model,x,y,cv=n_folds) #將每個回歸模型導入交叉檢驗模型中做訓練檢驗

　　cv_score_list.append(scores) #將交叉驗證結果存入到結果列表

　　pre_y_list.append(model.fit(x,y).predict(x)) #將回歸訓練中得到的預測y存入到列表

　　#模型效果指標評估

　　n_samples,n_features=x.shape #總樣本量，總特征數

　　model_metrics_name=[explained_variance_score,mean_absolute_error,mean_squared_error,r2_score] #回歸評估指標對象集

　　model_metrics_list=[] #回歸評估指標列表

　　for i in range(5): #循環每個模型索引

　　tmp_list=[] #每個內循環的臨時結果列表

　　for m in model_metrics_name: #循環每個指標對象

　　tmp_score=m(y,pre_y_list[i]) #計算每個回歸指標結果

　　tmp_list.append(tmp_score) #將結果存入每個內循環的臨時結果列表

　　model_metrics_list.append(tmp_list) #將結果存入到回歸評估指標列表

　　df1=pd.DataFrame(cv_score_list,index=model_names) #建立交叉驗證的數據框

　　df2=pd.DataFrame(model_metrics_list,index=model_names,columns=['ev','mae','mse','r2']) #建立回歸指標的數據框

　　print ('samples:%d\t features:%d' % (n_samples,n_features)) #打印輸出樣本量和特征數量

　　print (90*'-') #打印分隔線

　　print ('cross validation result:') #打印輸出標題

　　print (df1) #打印輸出交叉檢驗的數據框

　　print (90*'-') #打印輸出分隔線

　　print ('regression metrics:') #打印輸出標題

　　print (df2) #打印輸出回歸指標的數據框

　　print (90*'-') #打印輸出分隔線

　　print ('short name \t full name') #打印輸出縮寫和全名標題

　　print ('ev \t explained_variance')

　　print ('mae \t mean_absolute_error')

　　print ('mse \t mean_squared_error')

　　print ('r2 \t r2')

　　print (90*'-') #打印輸出分隔線

　　運行結果

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　　指標解釋：

　　從上圖中可以看出：增強梯度(GBR)回歸效果是所有模型中回歸效果最好的，從回歸矩陣(regression metrics)中看出其方差解釋ev達到了0.975，并且其平均絕對誤差和均方差都是最低的，分別為1.152、2.100。從交叉驗證的結果可以看出，GBR在交叉驗證的6次驗證中，其結果的穩定性相對較高，這證明該算法在應對不同的數據時穩定效果較好。

　　模型效果的可視化

　　模型擬合好以后，可以將幾種回歸效果借助matplotlib進行展示。代碼如下：

　　#模型效果的可視化

　　plt.figure #創建畫布

　　plt.plot(np.arange(x.shape[0]),y,color='k',label='true y') #畫出原始值得曲線

　　color_list=['r','b','g','y','c'] #顏色列表

　　linesytle_list=['-','.','o','v','*'] #樣式列表

　　for i,pre_y in enumerate(pre_y_list):

　　plt.plot(np.arange(x.shape[0]),pre_y_list[i],color_list[i],label=model_names[i]) #畫出每條預測結果線

　　plt.title('regression result comparison') #標題

　　plt.legend(loc='upper right') #圖例位置

　　plt.ylabel('real and predicted value') #y軸標題

　　plt.show() #展示圖像